随机游走
Wiener 过程
独立的标准白噪声序列的求和被称为随机游走，即
只需要按照一些常数加权，这就成为许多常见现象的模型。比如说认为 是速度，那么这就是粒子的 Brown
运动
是 时刻粒子所处的位置。再比如认为
是角速度，那么就有了无零漂的陀螺仪输出模型。对于随机游走，它的期望和方差分别是
在 不变的情况下令 ， 成为一个 Riemann
积分。它的期望自然是零，方差则是
如果
的构造能够使得方差收敛且不为零，那么就称 是一个 Wiener
过程。这个条件要求对于足够多的 有 ，所以 . 当这个比例系数始终为1时，称 是标准的 Wiener 过程，即
这时可以得出标准Wiener过程的方差是
标准Wiener过程与一个常义的微分之和被称为广义 Wiener
过程，即
都是 的函数。广义 Wiener
过程是在无零漂的随机游走中引入了一个缓慢的漂移项
Itô 引理
对于广义 Wiener 过程的函数，对于微小的变动 ，差分可以展开写为
这里自然 ，，不妨用一个标准正态变量 将其写为
，如此一来将上式保留到一次项就有
令
，得到极限形式的微分，并代回 就有
也即
对于含
的这一项，它也是一个随机变量。由于 是标准正态变量的平方，因而服从 分布，它的期望是 ，所以这个积分项的期望就是
代入不同 的 之间的独立性，二阶矩则是
固然 时
，但是这一条线在整个面积分中是没有贡献的。所以可以得到积分式的方差是
也就是说在宏观的时间尺度上看来，这一积分项总是取到它的期望，实际上是个定值。将其再代回就得到
求回微分就是
Itô 引理：对于一个广义Wiener过程 ，这里
，函数 的全微分是
几何Brown运动
令 ，此时的广义 Wiener 过程被称为几何
Brown 运动，现在让 ，代入 Itô引理显然有
假定
在所关注的时间段内都是常数，积分得到
由于 是标准 Wiener
过程，所以这意味着
证券的价格 是典型的几何
Brown 运动，证券的对数收益率定义为
完全一样地，就有
对数收益率的分布：如果价格的变动是一个几何 Brown
运动，那么它的对数收益率服从如下正态分布
并且不同时间段内的
是相互独立的
矩的估计
样本均值
假定按时间顺序获得了一系列对数收益率样本
，它们包含的时间范围两两不重合，因而两两独立。记样本总长度是 ，所有 的和记为总时长 ，那么对数收益率均值的估计值是
求样本均值的期望
随着
，方差趋向于零。因而由 Khinchin 大数定律，
样本方差
记
，并在以
作为期望的估计值的情况下，样本方差的估计值是
展开计算 的期望是
将三项分开处理：
对于第一项，记
，它是标准正态变量，其平方服从 分布，期望为 ，所以
第二项和第三项中的期望展开后分别是 也就是说后两项之和为
代入以前得到的结果，并考虑到 ，上式就化为
现在将三项加在一起求和，得到 随着 ，同样由 Khinchin 大数定律
，如此一来就有
对数收益率的期望和波动估计：记
是一年的时长，那么对数收益的年化期望和年化波动可以估计为
高阶样本矩
对于更高阶的归一化中心矩，在已经准确得知期望的情况下，用样本矩进行估计的值是
特别地，偏度和峰度估计为
超额峰度就是