连续复合收益

在证券市场中——尤其对于长期投资的人而言——收益是一个复利，即不断相乘的关系。现在假设某只证券单交易日的收益率是，这是一个随机变量。记第个交易日的收益率是，它是一个与的系综一致的随机过程，收益的复利关系首先意味着

命题1（基本不等式）：如果持有一张证券个交易日，平均的日收益率是

这个不等关系是几何平均不大于算术平均。上面的连乘可以用对数函数表达为求和，即令，并将上式写为也被称作对数收益率。当长期持有时，如果求和收敛，按照大数定律，一般来讲它应当就是随机变量的期望，这个值也被称为连续复合收益，也即

命题2（连续复合收益）：对于长期持有的证券，平均收益率将是这表明要靠长期持有证券获利，需要满足

如果回到命题1，并对不等号两侧取对数和极限的话，假设大数定律收敛，得到的是

命题3（琴生不等式）：收益率满足因而并不能保证长期获利，因为它只保证了不等号右侧的部分大于零

将对数函数进行 Taylor 展开，得到

这里保留到的四阶矩——即保留期望、方差、偏度、峰度这四个统计量——上式成为这里假定简单收益率的期望和方差拥有相同的量级，这也比较符合一般的情况；并且保留都到一阶，特别地，对于含阶矩的部分，允许保留到

连续复合收益率的等高线图（采用了正态分布和四阶近似），只有落在红线右侧才能获得长期盈利

考虑到一般单日的不太会超过10%，一般也很难接近或超过 30%，所以除非偏度和峰度有明显的贡献，否则可以只保留期望和方差项。事实上，在有效市场和时间足够连续化的假设下，由于更高阶矩成为了的高阶小量，因而只保留期望和方差项是极限情况下的精确解

命题4：连续复合收益与简单收益率的期望和方差之间近似有

收益率的非遍历性

另一方面，也可以在已知对数收益率相关统计量的情况下，求一段时间内的简单收益率，特别地一般就取年化值。当统计的天数够多时，命题2表明当时，，从而年化收益率是这里是一年中的交易日数量，它一般约等于 252

然而，一般来说金融机构和各类软件披露出的年化收益率是这样计算的：这里仍然是对数收益率分布的期望，是对数收益率分布的标准差，正态分布是中心极限定理的结果。来求简单收益率的期望指数上的部分是一个二次式，可以化为完全平方带上一个常数的形式，即

代入积分就有

然后就会发现；这是因为连乘不是线性操作，因此先乘后求期望和先求期望后乘的意义不同，具体来说

的计算过程是先估计出单日收益率的均值，然后再在时间轴上连乘积累收益；直观来说，先得出市场每天平均增长多少，然后让一个特定的投资者按照这个方式去累积收益
的计算过程是先在时间轴上“纵向地”连乘积累增益，然后再在周期末对整个系综“横向地”求一次均值；直观来说，先让市场上所有人都投资一年，一年后再将所有人的收益情况都算进来做个平均

由于复利的问题，在累积收益的过程中富者愈富、贫者愈贫。因此第二个结果会显著好于第一个结果（而第一个过程中，所有人都是以一个相同的定值累积收益的）。换句话说，按照简单收益率考虑，所有投资者收益率的中位数是在平均数之下的。实际上不止投资，工资报酬的分布也遵循同样的规律

如果随机过程是遍历的——即随着时间的演化，收益率取到某个值的概率和在收益率在系综中分布的概率是相同的。但现在却不然，就说明证券市场的简单收益率不是一个遍历过程

所以如果要对同一只证券的收益情况跨时间纵向统计，往往用对数收益率，简单收益率会高估收益。不过简单收益率也有发挥作用的场合，就是在同一时间截面上，资产组合的简单收益率恰好是各资产按照市值加权的收益率，即

同样在的情况下，简单收益率的方差将是对于，计算方法和期望时一样，与正态分布的概率密度函数结合后可以化为一个二次式，结果是所以方差是