常见的收益比率

Sharpe 比率

经典 Sharpe 比率

Sharpe 比率是以标准差衡量的波动 来惩罚超额收益 ，来衡量资产组合中风险资产的持有价值。这里下标 表示期望和方差都是在简单收益率下取得的， 是无风险收益率，Sharpe 比率定义为 这样定义的一个初衷是：投资者可以同时持有一部分风险资产和无风险资产，既然 Sharpe 比率意在衡量风险资产本身的持有价值，那么只要投资者不改变持有的风险资产，而只是调整持有风险资产占总资产的比例 时，Sharpe 比率就不应当改变

上式定义的 Sharpe 比率是符合这样的要求的。按照长期复利收益中最后说明的，在同一时间截面上，资产组合的简单收益率就是其中各资产简单收益率的市值加权，即 资产组合的 Sharpe 比率是 它不依赖于 ，因而是符合上述要求的。并且还有

Sharpe比率对持仓的独立性：对于一个资产组合，它的 Sharpe 比率就等于其中风险资产的 Sharpe 比率，且不依赖于风险资产占总资产的持仓比例

Sharpe 比率的意义是：承受单位波动能获得的超额收益。显然，一位理性的投资者总是想最大化 Sharpe 比率的。假设这样的投资者手中有 个可选的风险资产，分配给它们的比例用一个向量表示 ，那么风险资产总的收益是一个多元联合分布的随机变量的线性组合

从而风险资产收益的期望是 方差则是协方差矩阵的二次型 这里 是协方差矩阵。最大化 Sharpe 比率的任务可以分两步完成：

1. 对于给定的 ，找到对应的最小 ，这用 Lagrange 乘数法完成（经典力学的第一类 Lagrange 方程）
2. 遍历 以及对应的最小 ，找到最大的 Sharpe 比率

第二步无需多言。第一步可以表述为 构造 Lagrange 函数 ，令其梯度为零给出 由第一个方程组解出 ，常数 是一个待定系数，它由 来确定

资本资产定价模型

资本资产定价模型（CAPM）给出在理性市场上的竞争导致的定价结果，它基于以下假设：

1. 所有投资者都是理性的，意味着他们都会最大化自己的 Sharpe 比率
2. 所有投资者都能获得同样的信息，且没有内幕交易

因此首先

命题1：在市场均衡时，所有投资者的风险资产组合将具有相同的权重分配

既然如此，假设投资者 配置的总风险资产额为 ，那么对于风险资产 ，该投资者贡献的市场市值为 ；这样的话，风险资产 在市场上的总市值 是 这里利用了 ，这就意味着

命题2：这个权重分配 正是资产 的市值占市场总资产的比例，因此每个投资者都持有了市场的市值加权指数，他们的收益期望 就等于市场指数的收益期望 ，收益波动 也正是市场指数的收益波动

既然如此，每个投资者自然也将拥有同样的 Sharpe 比率，并且由于他们的理性，自然也是最优化的，也就是说必要条件是 考虑到 于是导函数为零这个方程成为 按照协方差定义，被求和的项可以写为 这里 是资产 和市场指数收益之间的相关系数，结合以上两式给出

命题3：在 CAPM 的假设下，单个资产的期望收益和市值加权市场指数的期望收益之间的关系是

这表明，在 CAPM 假定的市场均衡状态下，单个资产的超额收益总是与市场的超额收益以某个系数成正比。并且从 beta 系数的构成可以看出，想要获得更高的收益，势必要承担更高的波动风险

关于回撤的比率

Sortino 比率

Sortino 比率是 Sharpe 比率的一种变体，它基于这样一个理念：投资者并不在乎上行波动，而只在意下行波动。毕竟没有一个理性人会嫌自己赚得多。因此用标准差来对收益进行惩罚是不够合理的，更合适的做法是只用某个基准收益（MAR）之下的波动对收益进行惩罚 这里 被称为下行标准差 当然，它没有 Sharpe 比率那样好的数学性质，可以用来构建很多衍生的模型，更多地只能用于既定风险资产组合的横向比较：如果资产组合 A 比组合 B 的 Sharpe 比率更高但是 Sortino 比率却更低，可能意味着组合 A 的下行波动较大，而组合 B 的波动则更集中在上行部分

如此一来，显然组合 B 是要比组合 A 更优的，但如果按照 Sharpe 比率最大化的思路来优化资产组合，就会形成错配。所以 Sortino 比率可以作为一个有效的辅助参考指标

不过实际中如果统计时间够长的话，往往高 Sharpe 比率的资产也具有高的 Sortino 比率，即各资产的 都很接近。这意味着在长期来看，价格的超预期上涨或下跌总是不稳定的

对我国投资者可以接触到的一些资产来说，令 ，那么在近六年里， 基本都分布在 0.65~0.75 这个范围内

Calmar 比率

Calmar 比率是年化平均收益与所取时间段内最大回撤量之比，即 关于最大回撤，一般这样计算，用一个累计最大函数 来获取无回撤的价格，然后用无回撤价格减去实际价格，最终这个差值的最大值就是式中的

具体来说，首先累计最大函数定义为 也就是说如果实际的 超越了累计最大前值，就随之上升，否则就维持累计最大前值不动。于是 Calmar 比率的意义是：承受单位最大回撤能够带来的收益回报。Calmar 比率更高的证券自然是更好的选择，不过另外也要考虑最大回撤完成修复的时间，不然待到花开之日，人却已不再少年了

Omega 比率

Omega 比率是一种看似计算上非常“暴力”的比率，它没有复杂的构造过程，单纯就是用超过 MAR 的收益比上低于 MAR 的收益，即

不过遍历 Omega 比率就能够包含整个概率分布的信息，而不像 Sharpe 比率只依赖于期望和方差，或者 Sortino 比率只依赖于期望和下行标准差。为此，将 Omega 比率展开写为 将分母上的积分式拆开，就有

这里 是概率分布函数，即 ；对于分子上的积分式，只需要令 ，那么分子成为 这意味着

如果已经获得了所有 取值对应的 Omega 比率，那么就可以算出概率分布函数，即通过 这是个关于 的常微分方程。因而通过方程解出 ，即可完全还原概率分布函数 ，以及概率密度函数 ；对上面方程稍作变形就有

Omega比率：对于在所有 上都给定的 Omega 比率，构造常微分方程 方程的解 的导函数就是收益率的概率分布函数

不过在实际应用中，尤其是在阅读第三方机构的报告时，自然很难获取所有 上的 Omega 比率，更多的情况是只有几个典型值。比如说：

• 令 ，即某个可以接受的最低收益（往往是负值），以衡量收益率的回撤表现
• 令 ，以单纯衡量收益率偏正还是偏负的表现
• 令 ，即无风险收益率，以衡量超额收益表现