平方律光电转换器件

正态过程的矩定理

矩定理的实用性在于它是一切平方律器件对 Gaussian 随机信号 PSD 改变的数学基础，例如光电探测装置将光强转为电信号的过程。在这个过程中将会涉及高阶矩的计算，这就是矩定理发生作用的地方。

实过程

首先从实的正态过程开始，假设 元变量 服从期望为零，协方差矩阵为 的正态分布，其矩母函数（moment generating function，或者叫生成函数，特征函数）为

$$M(\boldsymbol{k}) = \mathcal{F}[p(\boldsymbol{x})] = \mathrm{E}[e^{-j2\pi \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}}] = \int_{\mathbb{R}^{2N}} p(\boldsymbol{x}) e^{-j2\pi \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} \mathrm{d}\boldsymbol{x} = \exp\left( -2\pi^2\boldsymbol{k}^T \boldsymbol{C}\boldsymbol{k} \right)$$

这既可以视为概率密度的 Fourier 变换，也可以视为复指数函数的期望。最后一个等号的结果可以将 视为中轴然后进行多元积分获得。接下来，对两个复指数函数进行 Taylor 展开，即得到

$$\sum_{q=0}^{\infty} \frac{(j2\pi)^q}{q!} \mathrm{E}\left[\left(\sum_{n=1}^{2N} k_nx_n \right)^q\right] = \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(-2\pi^2)^q}{q!} \left[\sum_{m,n} k_m \mathrm{E}(x_m x_n) k_n \right]^q$$

这里代入了协方差矩阵的定义 。从此开始，只关注 这个一次相乘交叉项，对这一项来说，等式两侧的系数必须相等。对等式左侧而言，必须当 时有可能产生这一项，并且由于 一定与 相乘，因而 这一项前的系数只可能是

$$\mathrm{Left} = (2N)!\frac{(j2\pi)^{2N}}{(2N)!} \mathrm{E}(x_1\cdots x_{2N})$$

这里的比例 是因为总共有 个相乘项，从每一项中都可以取 ，这是个排列问题，总的排列数是

接下来等式右侧则只有当 时才有可能产生 这一项，并且这一项前的系数只可能是

$$\mathrm{Right} = 2^N N!\frac{(-2\pi^2)^N}{N!} \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(x_mx_n)$$

这里 是指对按顺序递增的 而言，某一种 的组合方式，求和则是遍历了所有可能的组合方式。式中比例 是因为在每个相乘项里 分别取完 ，因而同一个 会被取两次，而总共有 个相乘项；比例 则是因为共有 个相乘项，从每一项中都可以取 ，这同样是个排列问题，排列数是 ，如此，只要令 就可以得到

实 Gaussian 矩定理：对于服从期望为零的 元正态变量 ，其交叉 阶矩满足

$$\mathrm{E}(x_1\cdots x_{2N}) = \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(x_mx_n)$$

这里 是指对按顺序递增的 而言， 的组合方式

复过程

复过程比实过程要麻烦一些，首先假设一个 元的圆型的 Gauss 复变量 ，现在构造一个 维实向量 ，这里的转置符号只是为了说明这是个列向量，这是遵循代数一般习惯的结果。

则其矩母函数可以写为

$$M(\hat{\boldsymbol{k}}) = \mathrm{E}\left[ e^{-j2\pi (\boldsymbol{k}_x^T\boldsymbol{x} + \boldsymbol{k}_y^T\boldsymbol{y})} \right] = \int_{\mathbb{R}^{2N}}\int_{\mathbb{R}^{2N}} p(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) e^{-j2\pi (\boldsymbol{k}_x^T\boldsymbol{x} + \boldsymbol{k}_y^T\boldsymbol{y})} \mathrm{d}\boldsymbol{x}\mathrm{d}\boldsymbol{y} = \exp\left( -2\pi^2\hat{\boldsymbol{k}}^T \hat{\boldsymbol{C}}\hat{\boldsymbol{k}} \right)$$

这里 ，同样是个 维列向量，实协方差矩阵则是

$$\hat{\boldsymbol{C}} = \mathrm{E}(\hat{\boldsymbol{z}} \hat{\boldsymbol{z}}^T) = \left[\begin{matrix} \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T) & \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^T) \\ \mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^T) & \mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^T) \end{matrix}\right]$$

---

圆型 Gaussian 随机变量意味着对于任何的相移 ，变量的概率分布保持不变，对于 Gaussian 联合分布，也就是均值和协方差矩阵不变，即

1. ，这意味着 ，亦即

2. ，这意味着 ，由于

   $$\mathrm{E}(\boldsymbol{z} \boldsymbol{z}^T) = \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T)-\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^T) + j\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^T) + j\mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^T)$$

   所以这意味着 以及

---

这里可以写出复协方差矩阵

$$\boldsymbol{C} = \mathrm{E}(\boldsymbol{z} \boldsymbol{z}^{\ast}) = [\mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{\ast})+\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^{\ast})] + j[\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^T) - \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^T)]$$

这里 是指 Hermitian 共轭（即共轭转置），记 ，如此矩母函数里面的 将成为

$$\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{k}}^T \hat{\boldsymbol{C}}\hat{\boldsymbol{k}} &= \frac{1}{2}[ \boldsymbol{k}_x^T\mathrm{Re}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_x + \boldsymbol{k}_y^T\mathrm{Re}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_y + \boldsymbol{k}_y^T\mathrm{Im}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_x - \boldsymbol{k}_x^T\mathrm{Im}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_y ] \\[12pt] &= \frac{1}{2} \mathrm{Re}(\boldsymbol{k}^{\ast} \boldsymbol{C} \boldsymbol{k}) \end{aligned}$$

由于 的所有项都是实数，所以 也是实的，这样矩母函数重新成为

$$M(\hat{\boldsymbol{k}}) = \mathrm{E}\left[ e^{-j\pi (\boldsymbol{k}^{\ast} \boldsymbol{z} + \boldsymbol{z}^{\ast} \boldsymbol{k})} \right] = \exp\left( -\pi^2\boldsymbol{k}^{\ast} \boldsymbol{C} \boldsymbol{k} \right)$$

这里还用了 的关系。对上式进行类似实过程的 Taylor 展开，得到

$$\sum_{q=0}^{\infty} \frac{(j\pi)^q}{q!} \mathrm{E}\left[\sum_{n=1}^{2N} (k_n^{\ast}z_n + z_n^{\ast}k_n) \right]^q = \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(-\pi^2)^q}{q!} \left[\sum_{m,n} k_m^{\ast} \mathrm{E}(z_m z_n^{\ast}) k_n \right]^q$$

同样地，只关注 这一项，则左式中只有当 时才可能出现这一项，其系数为

$$\mathrm{Left} = (2N)!\frac{(j\pi)^{2N}}{(2N)!} \mathrm{E}(z_1\cdots z_Nz_{N+1}^{\ast}\cdots z_{2N}^{\ast})$$

右式中只有当 时才可能出现 这一项，其系数为

$$\mathrm{Right} = N!\frac{(-\pi^2)^N}{N!} \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(z_mz_n^{\ast})$$

令 就可以得到

复 Gaussian 矩定理：对于 元圆型复正态变量 ，其交叉 阶矩满足

$$\mathrm{E}(z_1\cdots z_Nz_{N+1}^{\ast}\cdots z_{2N}^{\ast}) = \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(z_mz_n^{\ast})$$

这里 是指对按顺序递增的 而言， 的组合方式

平方律器件

以下的所有记号含义将与“自发辐射光源”中的保持一致

强度干涉仪

强度干涉仪是将光电转换完成后的光电流再进行一次电学上的干涉，光电流正比于瞬时光强，因而这可以视为对瞬时光强进行二次干涉。记复解析的电波为 ， 是个复包络，其系综为一个圆型 Gaussian 分布。在时间窗口足够长的情况下，干涉仪输出的结果是

$$\begin{aligned} J &= \Braket{ \left[I(t) - \Braket{I(t)}\right] \cdot \left[I(t-\tau) - \Braket{I(t-\tau)}\right] } \\[12pt] &= \Braket{ I(t)I(t-\tau)} - 2\Braket{I(t)}\Braket{I(t-\tau)} + \Braket{I(t)}\Braket{I(t-\tau)} \\[12pt] &= \Braket{ I(t)I(t-\tau)} - \Braket{I(t)}\Braket{I(t-\tau)} \end{aligned}$$

上式可以用瞬时光强 时间意义下的 ACF 以及电波 时间意义下的 ACF 来表达，即

$$J = \tilde{R}_I(\tau) - |\tilde{R}(0)|^2$$

重点来关注第一项，对于遍历的发光过程，时间意义下的 ACF 等于系综意义下的 ACF ，那么第一项可以写为

$$\tilde{R}_I(\tau) = R_I(\tau) = \mathrm{E}\left[ |e(t)|^2 |e(t-\tau)|^2 \right] = \mathrm{E}\left[ e(t)e^{\ast}(t) e(t-\tau)e^{\ast}(t-\tau) \right]$$

直接将复 Gaussian 矩定理应用于上式就可以得到

$$\begin{aligned} R_I(\tau) &= \mathrm{E}\left[ e(t)e^{\ast}(t) \right]\mathrm{E}\left[ e(t-\tau)e^{\ast}(t-\tau) \right] + \mathrm{E}\left[ e(t)e^{\ast}(t-\tau) \right]\mathrm{E}\left[ e^{\ast}(t)e(t-\tau) \right] \\[12pt] &= |R(0)|^2 + |R(\tau)|^2 \end{aligned}$$

再次应用遍历性假设 ，并将上式代入 的表达式中即可得到强度干涉仪的输出

$$J = |R(0)|^2 + |R(\tau)|^2 - |R(0)|^2 = |R(\tau)|^2$$

平方关系将会锐化 ACF 的形状，从而构造更窄的相干时间

平方律器件的 PSD

以强度干涉仪为引子，将可以得出平方律器件（即光电转换装置）输出的电信号的 PSD ，当然仍然由于输出的光电流 以及其经过跨阻放大器（TIA）后得到的电压 依然正比于光强，所以只要计算光强 的 PSD 即可。得益于 Wiener-Khinchin 定理，这可以直接由 ACF 的 Fourier 变换得到，即

$$S_I(f) = \mathcal{F}[R_I(\tau)] = \int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau + \int_{-\infty}^{+\infty} |R(0)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau$$

第二项自然是 ，这代表的是平均光强这个直流量；而将 代入，可以得到第一项是

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) e^{j2\pi \nu \tau} \mathrm{d}\nu \right]\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} S^{\ast}(w) e^{-j2\pi w \tau} \mathrm{d}w \right] e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau$$

该式中关于 的积分当然是 ，所以此式成为

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(w) \delta(f-\nu+w) \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w \\[12pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(\nu-f) \mathrm{d}\nu \end{aligned}$$

所以结论是，光电转换装置输出信号的 PSD 包含一个平均光强的直流量和一个光谱（即电波的 PSD）的卷积

$$S_I(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(\nu-f) \mathrm{d}\nu + I^2\delta(f)$$

在一些场合中，卷积项是不希望出现的，因而这些场合下这一项也被称为强度噪声（intensity noise），这噪声对于宽光谱光源尤为明显，因为其存在较大的带宽可供卷积。

当然，可以滤除光电转换装置输出的电信号的直流量，只保留交流量来观察强度噪声

Fourier 展开

也可以对电波进行 Fourier 展开来得到同样的表达式。按照定义写出平方律器件的 PSD

$$S_I(f) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \mathrm{E}\left\{ \left| \int_{-T/2}^{T/2} I(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2 \right\} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \mathrm{E}\left\{ \left| \int_{-T/2}^{T/2} I_T(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2 \right\}$$

用 表达出 ，得到

$$\begin{aligned} I_T(t) = e_T(t)e_T^{\ast}(t) &= T\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} E_T(\nu)E_T^{\ast}(w) e^{j2\pi(\nu-w)t} \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w \\[12pt] &= T\int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} E_T(\nu)E_T^{\ast}(\nu - \alpha) \mathrm{d}\nu\right] e^{j2\pi\alpha t}\mathrm{d}\alpha \end{aligned}$$

将上式代入 ，对 的积分当然是 ，与此同时还剩下一个 的系数，所以就有

$$\begin{aligned} S_I(f) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left\{ T \left| \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} E_T(\nu)E_T^{\ast}(\nu - \alpha) \mathrm{d}\nu\right] \delta(f-\alpha) \mathrm{d}\alpha \right|^2 \right\} \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty}\mathrm{E}\left\{ T\left| \int_{-\infty}^{+\infty} E_T(\nu)E_T^{\ast}(\nu - f) \mathrm{d}\nu \right|^2 \right\} \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty}\mathrm{E}\left\{ T \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} E_T(\nu)E_T^{\ast}(\nu - f) \mathrm{d}\nu \right]\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} E_T^{\ast}(w)E_T(w - f) \mathrm{d}w \right] \right\} \end{aligned}$$

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这里有一个数学上需要注意的地方，期望即为对随机信号按系综进行加权积分，也就是

$$\mathrm{E}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} xp(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{d}P$$

总而言之这是个线性算子，对频域的积分自然也是线性算子，但是幅值平方并不是线性的。所以先平方再求期望并不等于先求期望再平方，这在概率论中是著名的关系式

$$E(x^2) = E^2(x) + \mathrm{Var}(x)$$

这主要是想说明上式中的平方必须先拆开成为一个二元积分才能将期望放进频域的积分号内部

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应用复 Gaussian 矩定理，会有

$$\begin{aligned} S_I(f) &= \lim_{T \rightarrow \infty} T\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{E}\left[ E_T(\nu)E_T^{\ast}(\nu - f)E_T^{\ast}(w)E_T(w - f) \right] \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty} T\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{E}\left[E_T(\nu)E_T^{\ast}(w)\right] \mathrm{E}\left[E_T^{\ast}(\nu - f)E_T(w - f)\right] \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w \\[12pt] &+ \lim_{T \rightarrow \infty} T\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{E}\left[E_T(\nu)E_T^{\ast}(\nu - f)\right]\mathrm{E}\left[E_T^{\ast}(w)E_T(w - f)\right] \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w \\[12pt] \end{aligned}$$

由于不同频率分量的发光不相关，且都是零期望的随机过程，所以在

1. 第一项中，只有当 时 和 才为非零值，因而关于 的积分只在 附近进行，设置这个“附近”区间为 ，这是为了保证积分的收敛性；从而第一项成为

   $$\begin{aligned} \lim_{T \rightarrow \infty} T\int_{\nu-1/2T}^{\nu+1/2T}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{E}\left[E_T(\nu)E_T^{\ast}(w)\right] \mathrm{E}\left[E_T^{\ast}(\nu - f)E_T(w - f)\right] \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w &= \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{E}\left[|E(\nu)|^2\right] \mathrm{E}\left[|E(\nu - f)|^2\right] \mathrm{d}\nu \\[12pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(\nu-f) \mathrm{d}\nu \end{aligned}$$

   第二个等号是因为在“自发辐射光源”中得出过光谱 的结论

2. 第二项中，只有当 时期望才有非零值，同样代入 ，从而这一项成为

   $$\lim_{T \rightarrow \infty} T\int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) \mathrm{d}\nu \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}S(w)\mathrm{d}w = I^2 \delta(f)$$

   这里 这个一阶无穷大促成了 的诞生，而光谱在频域的积分即为光强

最后，Fourier 展开法得出了同样的结论

$$S_I(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(\nu-f) \mathrm{d}\nu + I^2\delta(f)$$