平方律光电转换器件

正态过程的矩定理

矩定理的实用性在于它是一切平方律器件对 Gaussian 随机信号 PSD 改变的数学基础，例如光电探测装置将光强转为电信号的过程。在这个过程中将会涉及高阶矩的计算，这就是矩定理发生作用的地方。

实过程

首先从实的正态过程开始，假设 元变量 服从期望为零，协方差矩阵为 的正态分布，其矩母函数（moment generating function，或者叫生成函数，特征函数）为

$$M(\boldsymbol{k}) = \mathcal{F}[p(\boldsymbol{x})] = \mathrm{E}[e^{-j2\pi \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}}] = \int_{\mathbb{R}^{2N}} p(\boldsymbol{x}) e^{-j2\pi \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} \mathrm{d}\boldsymbol{x} = \exp\left( -2\pi^2\boldsymbol{k}^T \boldsymbol{C}\boldsymbol{k} \right)$$

这既可以视为概率密度的 Fourier 变换，也可以视为复指数函数的期望。最后一个等号的结果可以将 视为中轴然后进行多元积分获得。接下来，对两个复指数函数进行 Taylor 展开，即得到

$$\sum_{q=0}^{\infty} \frac{(j2\pi)^q}{q!} \mathrm{E}\left[\left(\sum_{n=1}^{2N} k_nx_n \right)^q\right] = \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(-2\pi^2)^q}{q!} \left[\sum_{m,n} k_m \mathrm{E}(x_m x_n) k_n \right]^q$$

这里代入了协方差矩阵的定义 。从此开始，只关注 这个一次相乘交叉项，对这一项来说，等式两侧的系数必须相等。对等式左侧而言，必须当 时有可能产生这一项，并且由于 一定与 相乘，因而 这一项前的系数只可能是

$$\mathrm{Left} = (2N)!\frac{(j2\pi)^{2N}}{(2N)!} \mathrm{E}(x_1\cdots x_{2N})$$

这里的比例 是因为总共有 个相乘项，从每一项中都可以取 ，这是个排列问题，总的排列数是

接下来等式右侧则只有当 时才有可能产生 这一项，并且这一项前的系数只可能是

$$\mathrm{Right} = 2^N N!\frac{(-2\pi^2)^N}{N!} \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(x_mx_n)$$

这里 是指对按顺序递增的 而言，某一种 的组合方式，求和则是遍历了所有可能的组合方式。式中比例 是因为在每个相乘项里 分别取完 ，因而同一个 会被取两次，而总共有 个相乘项；比例 则是因为共有 个相乘项，从每一项中都可以取 ，这同样是个排列问题，排列数是 ，如此，只要令 就可以得到

实 Gaussian 矩定理：对于服从期望为零的 元正态变量 ，其交叉 阶矩满足

$$\mathrm{E}(x_1\cdots x_{2N}) = \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(x_mx_n)$$

这里 是指对按顺序递增的 而言， 的组合方式

复过程

复过程比实过程要麻烦一些，首先假设一个 元的圆型的 Gauss 复变量 ，现在构造一个 维实向量 ，这里的转置符号只是为了说明这是个列向量，这是遵循代数一般习惯的结果。

则其矩母函数可以写为

$$M(\hat{\boldsymbol{k}}) = \mathrm{E}\left[ e^{-j2\pi (\boldsymbol{k}_x^T\boldsymbol{x} + \boldsymbol{k}_y^T\boldsymbol{y})} \right] = \int_{\mathbb{R}^{2N}}\int_{\mathbb{R}^{2N}} p(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) e^{-j2\pi (\boldsymbol{k}_x^T\boldsymbol{x} + \boldsymbol{k}_y^T\boldsymbol{y})} \mathrm{d}\boldsymbol{x}\mathrm{d}\boldsymbol{y} = \exp\left( -2\pi^2\hat{\boldsymbol{k}}^T \hat{\boldsymbol{C}}\hat{\boldsymbol{k}} \right)$$

这里 ，同样是个 维列向量，实协方差矩阵则是

$$\hat{\boldsymbol{C}} = \mathrm{E}(\hat{\boldsymbol{z}} \hat{\boldsymbol{z}}^T) = \left[\begin{matrix} \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T) & \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^T) \\ \mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^T) & \mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^T) \end{matrix}\right]$$

---

圆型 Gaussian 随机变量意味着对于任何的相移 ，变量的概率分布保持不变，对于 Gaussian 联合分布，也就是均值和协方差矩阵不变，即

1. ，这意味着 ，亦即

2. ，这意味着 ，由于

   $$\mathrm{E}(\boldsymbol{z} \boldsymbol{z}^T) = \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T)-\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^T) + j\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^T) + j\mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^T)$$

   所以这意味着 以及

---

这里可以写出复协方差矩阵

$$\boldsymbol{C} = \mathrm{E}(\boldsymbol{z} \boldsymbol{z}^{\ast}) = [\mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{\ast})+\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^{\ast})] + j[\mathrm{E}(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^T) - \mathrm{E}(\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^T)]$$

这里 是指 Hermitian 共轭（即共轭转置），记 ，如此矩母函数里面的 将成为

$$\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{k}}^T \hat{\boldsymbol{C}}\hat{\boldsymbol{k}} &= \frac{1}{2}[ \boldsymbol{k}_x^T\mathrm{Re}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_x + \boldsymbol{k}_y^T\mathrm{Re}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_y + \boldsymbol{k}_y^T\mathrm{Im}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_x - \boldsymbol{k}_x^T\mathrm{Im}(\boldsymbol{C})\boldsymbol{k}_y ] \\[12pt] &= \frac{1}{2} \mathrm{Re}(\boldsymbol{k}^{\ast} \boldsymbol{C} \boldsymbol{k}) \end{aligned}$$

由于 的所有项都是实数，所以 也是实的，这样矩母函数重新成为

$$M(\hat{\boldsymbol{k}}) = \mathrm{E}\left[ e^{-j\pi (\boldsymbol{k}^{\ast} \boldsymbol{z} + \boldsymbol{z}^{\ast} \boldsymbol{k})} \right] = \exp\left( -\pi^2\boldsymbol{k}^{\ast} \boldsymbol{C} \boldsymbol{k} \right)$$

这里还用了 的关系。对上式进行类似实过程的 Taylor 展开，得到

$$\sum_{q=0}^{\infty} \frac{(j\pi)^q}{q!} \mathrm{E}\left[\sum_{n=1}^{2N} (k_n^{\ast}z_n + z_n^{\ast}k_n) \right]^q = \sum_{q=0}^{\infty} \frac{(-\pi^2)^q}{q!} \left[\sum_{m,n} k_m^{\ast} \mathrm{E}(z_m z_n^{\ast}) k_n \right]^q$$

同样地，只关注 这一项，则左式中只有当 时才可能出现这一项，其系数为

$$\mathrm{Left} = (2N)!\frac{(j\pi)^{2N}}{(2N)!} \mathrm{E}(z_1\cdots z_Nz_{N+1}^{\ast}\cdots z_{2N}^{\ast})$$

右式中只有当 时才可能出现 这一项，其系数为

$$\mathrm{Right} = N!\frac{(-\pi^2)^N}{N!} \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(z_mz_n^{\ast})$$

令 就可以得到

复 Gaussian 矩定理：对于 元圆型复正态变量 ，其交叉 阶矩满足

$$\mathrm{E}(z_1\cdots z_Nz_{N+1}^{\ast}\cdots z_{2N}^{\ast}) = \sum_{\mathcal{P}} \prod_{(m,n)} \mathrm{E}(z_mz_n^{\ast})$$

这里 是指对按顺序递增的 而言， 的组合方式

平方律器件

以下的所有记号含义将与“自发辐射光源”中的保持一致，并且认为随机过程都是遍历的

强度干涉仪

强度干涉仪是将光电转换完成后的光电流再进行一次电学上的干涉，光电流正比于瞬时光强，因而这可以视为对瞬时光强进行二次干涉。记复解析的电波为 ， 是个复包络，其系综为一个圆型 Gaussian 分布。干涉仪输出的结果是

$$\begin{aligned} J &= \mathrm{E}\left\{ \left[I(t) - \mathrm{E}[I(t)]\right] \cdot \left[I(t-\tau) - \mathrm{E}[I(t-\tau)]\right] \right\} \\[12pt] &= \mathrm{E}[ I(t)I(t-\tau)] - 2\mathrm{E}[I(t)]\mathrm{E}[I(t-\tau)] + \mathrm{E}[I(t)]\mathrm{E}[I(t-\tau)] \\[12pt] &= \mathrm{E}[ I(t)I(t-\tau)] - \mathrm{E}[I(t)]\mathrm{E}[I(t-\tau)] \end{aligned}$$

上式可以用瞬时光强 时间意义下的 ACF 以及电波 时间意义下的 ACF 来表达，即

$$J = R_I(\tau) - |R(0)|^2$$

重点来关注第一项，其可以写为

$$R_I(\tau) = \mathrm{E}\left[ |e(t)|^2 |e(t-\tau)|^2 \right] = \mathrm{E}\left[ e(t)e^{\ast}(t) e(t-\tau)e^{\ast}(t-\tau) \right]$$

直接将复 Gaussian 矩定理应用于上式就可以得到

$$\begin{aligned} R_I(\tau) &= \mathrm{E}\left[ e(t)e^{\ast}(t) \right]\mathrm{E}\left[ e(t-\tau)e^{\ast}(t-\tau) \right] + \mathrm{E}\left[ e(t)e^{\ast}(t-\tau) \right]\mathrm{E}\left[ e^{\ast}(t)e(t-\tau) \right] \\[12pt] &= |R(0)|^2 + |R(\tau)|^2 \end{aligned}$$

将上式代入 的表达式中即可得到强度干涉仪的输出

$$J = |R(0)|^2 + |R(\tau)|^2 - |R(0)|^2 = |R(\tau)|^2$$

平方关系将会锐化 ACF 的形状，从而构造更窄的相干时间

平方律器件的 PSD

以强度干涉仪为引子，将可以得出平方律器件（即光电转换装置）输出的电信号的 PSD ，当然仍然由于输出的光电流 以及其经过跨阻放大器（TIA）后得到的电压 依然正比于光强，所以只要计算光强 的 PSD 即可。得益于 Wiener-Khinchin 定理，这可以直接由 ACF 的 Fourier 变换得到，即

$$S_I(f) = \mathcal{F}[R_I(\tau)] = \int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau + \int_{-\infty}^{+\infty} |R(0)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau$$

第二项自然是 ，这代表的是平均光强这个直流量；而将 代入，可以得到第一项是

$$\int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) e^{j2\pi \nu \tau} \mathrm{d}\nu \right]\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} S^{\ast}(w) e^{-j2\pi w \tau} \mathrm{d}w \right] e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau$$

该式中关于 的积分当然是 ，所以此式成为

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} |R(\tau)|^2 e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(w) \delta(f-\nu+w) \mathrm{d}\nu \mathrm{d}w \\[12pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(\nu-f) \mathrm{d}\nu \end{aligned}$$

所以结论是，光电转换装置输出信号的 PSD 包含一个平均光强的直流量和一个光谱（即电波的 PSD）的卷积

$$S_I(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} S(\nu) S^{\ast}(\nu-f) \mathrm{d}\nu + I^2\delta(f)$$

在一些场合中，卷积项是不希望出现的，因而这些场合下这一项也被称为强度噪声（intensity noise），这噪声对于宽光谱光源尤为明显，因为其存在较大的带宽可供卷积。

当然，可以滤除光电转换装置输出的电信号的直流量，只保留交流量来观察强度噪声