自发辐射光源

光强

对于真空中的单色平面电波 ，其 Poynting 矢量为

$$\boldsymbol{s}_r = \frac{c}{4\pi} \left(\boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{h}_r\right)$$

这里磁场经由 Faraday 电磁感应定律和电场联系起来，即

$$\nabla \times \boldsymbol{e}_r = -\frac{1}{c}\frac{\partial \boldsymbol{h}_r}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad 2\pi\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{E}\sin(2\pi ft - 2\pi \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{x} + \theta) = \frac{2\pi f}{c}\boldsymbol{H}\sin(2\pi ft - 2\pi \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{x} + \theta)$$

从而 ，加之电磁场的方向以及 Poynting 矢量互相垂直，所以

$$|\boldsymbol{s}_r| = \frac{c}{4\pi}|\boldsymbol{e}_r||\boldsymbol{h}_r| = \frac{c}{4\pi}|\boldsymbol{e}_r|^2$$

那么对于单偏振光 ，在 时刻通过特定位置单位面积的光功率就是

$$I_s(t) = \frac{c}{4\pi}e_r(t)^2 = \frac{c}{8\pi}E^2[1 + \cos(4\pi ft + 2\theta)]$$

由于光的变化频率一般很高，所以实际的光电探测中检测到的往往是上式的均值，这个时间平均的窗口 ，且时间平均的结果就被称为光强

$$I = \Braket{I_s(t)} = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} I_s(t) \mathrm{d}t = \frac{c}{8\pi}E^2$$

这里 是指时间平均。当然，光强也可以定义为正比于磁场的平方的量，但由于 Wiener 驻波实验表明在光与物质互动时，磁场分量几乎没有任何贡献，因而往往用电场定义光强。

由于光学中存在着大量的线性运算，所以可以将余弦形式的实电波转化为解析的复电波，这实际上只是令 ，这里 是一个复数，包含了幅值以及初相信息。此时若有任意线性算子 作用在实电波上，总可以通过先将其作用在复电波上然后再取实部得到结果，即

$$L[e_r(t)] = \mathrm{Re}\{ L[e(t)] \}$$

而光强则成为一般常用的定义式

$$I = \frac{c}{8\pi}\Braket{\frac{1}{2}[e(t) + e^{\ast}(t)]^2} = \frac{c}{8\pi}\Braket{e(t)e^{\ast}(t)} = \frac{c}{8\pi}\Braket{|e(t)|^2}$$

自发辐射的光谱

谱分解

关于平稳随机信号的谱分解，详细的描述参照 L. Landau, and E. Lifshitz, “Statistical physics, part 1,” 3rd ed., Sec. 122. 以及 A. Papoulis, and S. U. Pillai, “Probability, random variables and stochastic processes,” 4th ed., Chap. 11, Sec. 4.

在自发辐射中， 是由大量原子辐射出的无关波列叠加而成的，因而往往是一个随机过程，一般还认为它是遍历（ergodic）的，即其任意阶矩的时间平均和数学期望是相等的，这即是说在时间上总能够“遍历”完所有可能的状态

为了获得频率域上的信息，可以对 进行 Fourier 变换，其结果自然也是平稳的随机过程，即

$$e(t) =\int_{0}^{\infty} E(f) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f \quad,\quad E(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t$$

那么光强就可以写为

$$I = \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[ |e(t)|^2 \right] = \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] e^{j2\pi (f-\nu)t} \mathrm{d}f\mathrm{d}\nu$$

继续将内部的数学期望展开写为

$$\begin{aligned} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t')\right] e^{-j2\pi (ft-\nu t')} \mathrm{d}t\mathrm{d}t' \\[12pt] & = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right] e^{-j2\pi f\tau}e^{-j2\pi (f-\nu)t'} \mathrm{d}t'\mathrm{d}\tau \\[12pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right] e^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau \cdot \delta(f-\nu) \end{aligned}$$

上式中的 ，Dirac 函数 是由对 的积分给出的。在最后等号右侧的积分显然是一个 Fourier 变换，被变换的函数是电场的自相关函数（ACF），记为 ；变换的结果则记为 ，即

$$\varGamma(\tau) = \frac{c}{8\pi} \mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right] \quad,\quad S(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varGamma(\tau) e^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau$$

这给出平稳随机过程频谱的零相关性，即电场的谱分解结果

$$\frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] = S(f) \delta(f-\nu)$$

将上述结果代回 的表达式，或者注意 ，总之就得到

$$I = \int_0^\infty S(f) \mathrm{d}f$$

也即光强是由函数 在频域上线性叠加的结果，因此 被称为光谱 ，不难看出光谱是实函数，因而 ACF 作为它的 Fourier 逆变换一定是一个偶函数

时间相干性

由于 ACF 与光谱构成 Fourier 变换对，这就意味着它们之间存在类似于量子力学中不确定性关系的约束：光谱越宽，ACF 就越尖锐；反之光谱越窄，ACF 则越平坦

关于不确定性关系的详细推导，参照 M. Born, and E. Wolf, “Principle of optics,” 7th ed., Chap. 10, Sec. 8.

按照方差的形式，可以将光谱和 ACF 的宽度分别定义为

$$f_\mathrm{b}^2 = \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} (f-f_\mathrm{c})^2 S(f)^2 \mathrm{d}f }{ \int_{-\infty}^{+\infty} S(f)^2 \mathrm{d}f } \quad,\quad \tau_\mathrm{co}^2 = \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} \tau^2 |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau }{ \int_{-\infty}^{+\infty} |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau }$$

当然，尽管这里对光谱的积分范围遍及了负频率，但在复解析形式下负频率的光谱始终为零； 是由期望的形式定义的中心频率

$$f_\mathrm{c} = \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} f S(f)^2 \mathrm{d}f }{ \int_{-\infty}^{+\infty} S(f)^2 \mathrm{d}f }$$

而对于 ACF ，因为其为偶函数，其中心位置便一定为零

由 Parseval-Plancherel 定理， 和 定义式中的分母是相等的。至于分子，首先进行变量代换 ，然后将其中一个 写为 的 Fourier 变换，所以

$$f_\mathrm{b}^2 = \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} \varGamma(\tau)\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 S(f+ f_\mathrm{c}) e^{-j2\pi (f+f_c)\tau} \mathrm{d}f \mathrm{d}\tau }{ \int_{-\infty}^{+\infty} |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau } = -\frac{1}{4\pi^2}\frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} \varGamma(\tau)\cdot \mathrm{d}^2\varGamma^\ast/\mathrm{d}\tau^2\cdot \mathrm{d}\tau }{ \int_{-\infty}^{+\infty} |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau }$$

第二个等号应用了 Fourier 变换的微分-倍乘性质以及共轭-反演性质，分子上的积分可以用分部积分来处理。一般认为自相关函数以及至少到它的二阶导数，在无穷远处都是趋近于零的，这是因为 在全频率域上的积分一般一定是收敛的，否则意味着光将具有足够多的无限高频分量。因此上式继续写为

$$\tau_\mathrm{co}^2 = \frac{1}{4\pi^2}\frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} \left|\mathrm{d}\varGamma^\ast/\mathrm{d}\tau\right|^2 \mathrm{d}f }{ \int_{-\infty}^{+\infty} |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau } \geq \frac{1}{16\pi^2} \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau }{ \int_{-\infty}^{+\infty} \tau^2 |\varGamma(\tau)|^2 \mathrm{d}\tau }$$

这个不等号是量子力学中的对易不等式，在量子力学相关书目中很容易找到，或者参照 M. Born, and E. Wolf, “Principle of optics,” 7th ed., App. I. 总之上式立即给出

$$f_\mathrm{b}^2 \tau_\mathrm{co}^2 \geq \frac{1}{16\pi^2}$$

不等式的等号只有在光谱具有 Gauss 形状时才成立，因此一般上式更多地近似写为 ，进行量级上的估计；当采用波长而非频率衡量谱宽时，只要 ，那么就有 ，这里 ，而 是以波长衡量的谱宽

值得一提的是，如果上述过程不进行变量代换 ，将无法得到不确定性关系式。这是因为这种情况下，对易不等式的放缩过度了

强度的谱分解

由于实际的光电探测往往无法捕捉以极高频率变化的电场，而是将光强转化为正比于其的电流或者电压输出，因此光电探测器也被称为一个平方律器件 ，那么对光强进行谱分解时，经由与对电场分解完全相同的形式，得到

$$\mathrm{E}\left[\mathcal{I}(f)\mathcal{I}^\ast(\nu) \right] = S_\mathrm{I}(f) \delta(f-\nu)$$

这里 ，因而该式实际上应当展开写为

$$\begin{aligned} S_\mathrm{I}(f) \delta(f-\nu) &= \mathrm{E}\left\{ \left[\frac{c}{8\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \iint_0^\infty E(\alpha)E^\ast(\beta) e^{j2\pi(\alpha - \beta - f)t} \mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta\mathrm{d}t \right] \right. \\[12pt] & \left. \quad\ \cdot \left[\frac{c}{8\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \iint_0^\infty E(\alpha')E^\ast(\beta') e^{j2\pi(\alpha' - \beta' - \nu)t'} \mathrm{d}\alpha'\mathrm{d}\beta'\mathrm{d}t' \right]^\ast\right\} \\[12pt] &= \frac{c^2}{64\pi^2} \iint_0^\infty \mathrm{E}\left[ E(\alpha)E^\ast(\alpha - f)E^\ast(\alpha')E(\alpha' - \nu) \right]\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha' \end{aligned}$$

由于在自发辐射中，对于任意一个频率，发光原子的数目都是巨大的，因此按照中心极限定理（CLT）， 总是一个复值的 Gauss 型随机变量，而针对此存在 Isserlis 定理，详细的叙述与证明参照 B. Alexander, Found. Comput. Math., vol. 7, pp. 229-244.这里要用到的是该定理的四阶矩推论，它表明对于 复值 Gauss 型随机变量存在 ，那么上式就成为

$$\begin{aligned} S_\mathrm{I}(f) \delta(f-\nu) &= \iint_0^\infty \frac{c}{8\pi} \mathrm{E}\left[ E(\alpha)E^\ast(\alpha')\right] \cdot \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[ E(\alpha' - \nu)E^\ast(\alpha - f) \right] \mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha' \\[12pt] &\quad\ + \iint_0^\infty \frac{c}{8\pi} \mathrm{E}\left[ E(\alpha)E^\ast(\alpha - f)\right] \cdot \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[ E(\alpha' - \nu)E^\ast(\alpha') \right] \mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha' \\[12pt] &= \iint_0^\infty S(\alpha)S(\alpha-f) \delta(\alpha - \alpha')\delta(f - \nu - \alpha + \alpha') \mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha' \\[12pt] &\quad\ +\iint_0^\infty S(\alpha)S(\alpha') \delta(f)\delta(\nu) \mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\alpha' \end{aligned}$$

对 Dirac 函数积分后，就得到

$$S_\mathrm{I}(f) \delta(f-\nu) = \delta(f-\nu) \int_0^\infty S(\alpha)S(\alpha-f) \mathrm{d}\alpha + I^2\delta(f)\delta(\nu)$$

事实上，从积分的效果上看， ，所以就得到强度的谱分解

$$S_\mathrm{I}(f) = \int_0^\infty S(\alpha)S(\alpha-f) \mathrm{d}\alpha + I^2\delta(f)$$

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对一个二元函数 与 积分，结果是

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} H(f,\nu) \delta(f)\delta(f-\nu) \mathrm{d}f\mathrm{d}\nu = \int_{-\infty}^{+\infty} H(f,f) \delta(f)\mathrm{d}f = H(0,0)$$

对 积分的结果是一样的。这是因为遍及整个平面积分，只有在两个 Dirac 函数绘出的轨迹的交点处才有非零的值

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