一般的微积分基本定理

严谨的微分形式与对其进行积分的表述参照 M.Spivak, “Calculus on manifolds.” 和 V.Arnold, “Mathematical methods of classical mechanics,” Chap. 7 & 8. ；后者在逻辑严密的同时也具有很强的直观性

微分

向量的投影

对于一个线性空间（比如最一般的 ），为了描述空间中的所有向量，需要一组线性无关的向量作为空间的基。对于一个 维空间 ， 其中的任意向量 自然可以写为

$$v = \sum_i x^i e_i$$

这里 是向量 在 上投影的坐标。由于向量本身不随基的改变而改变，所以坐标一定是和基成逆变关系的，因而用上标来标记

投影本身是一个函数，它获取了一个向量在 这个维度上的长度，这个函数可以记为 ，并且满足

$$\varphi^i(e_j) = \delta^i_j$$

这里 是 Kronecker 记号。它的线性性不难验证，为了说明它的线性无关性，只需要构造

$$\sum_i a_i \varphi^i(v) = \sum_i a_i x^i$$

对于任意的 ，上式等于零都要成立的话，就必须有所有 ，这就证明了 是线性无关的，因而可以张成一个 维空间，记为 ，称为 的对偶空间。所谓的对偶空间，其实就是建立在 上的线性函数构成的空间。

有向体积

直观上来讲， 个向量张成的有向体积应当具有这样的特点：

• 当这 个向量线性相关时， 维的有向体积为零
• 将这 个向量事先编好号后，交换任意两个编号相邻的向量时，有向体积变号

满足上述两个条件的一个天然的数学结构是行列式。将行列式的每一列都视为一个向量的坐标表示，那么如果这些向量之间线性相关，矩阵即刻成为不满秩的，行列式为零；而任意交换任意相邻两列的位置，行列式的结果变号

那么可以定义 就是 中的元素，而递归地定义 满足

$$\omega^k (v_1, \cdots v_k) = \sum_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma) \omega^{k-1} (v_{i_1}, \cdots v_{i_{k-1}}) \omega^1 (v_{i_k})$$

这里 是 个 的 Descartes 积， 是 的一个排列， 则是根据排列的奇偶性来赋予一个符号，对于偶排列为正，奇排列为负。上面的运算可以更简洁地记为 ，这个运算称为外积，而 称为 次外形式

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事实上， 次外形式本身完全可以写为行列式。由于 是 的一组基，所以任意的 次形式可以表示为 ；至于 次形式，按照上面的定义，总可以写为

$$\omega^2(v_1,v_2) = \omega^1_{(1)}(v_1)\omega^1_{(2)}(v_2) - \omega^1_{(1)}(v_2)\omega^1_{(2)}(v_1) = \left|\begin{matrix} \omega^1_{(1)}(v_1) & \omega^1_{(1)}(v_2) \\ \omega^1_{(2)}(v_1) & \omega^1_{(2)}(v_2)\end{matrix}\right|$$

记 ， ，那么上式成为

$$\omega^2(v_1, v_2) = \sum_{i,j} a_{i,(1)}a_{j,(2)} \left[ \varphi^i(v_1)\varphi^j(v_2) - \varphi^i(v_2)\varphi^j(v_1)\right] = \sum_{i<j} b_{ij} (\varphi^i \wedge \varphi^j)$$

式中 ，上式意味着 是 次形式所在空间的一组基，并且可以验证它也是线性无关的，方式和验证 次形式时一样

更高次的形式可以通过递归的方式导出，值得一提的是 次形式的基总是

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外积的一个重要性质是它的斜交换律，这对于两个 次形式很容易说明，即

$$\omega^1_{(1)} \wedge \omega^1_{(2)} = \left|\begin{matrix} \omega^1_{(1)}(v_1) & \omega^1_{(1)}(v_2) \\ \omega^1_{(2)}(v_1) & \omega^1_{(2)}(v_2)\end{matrix}\right| = - \left|\begin{matrix} \omega^1_{(2)}(v_1) & \omega^1_{(2)}(v_2) \\ \omega^1_{(1)}(v_1) & \omega^1_{(1)}(v_2)\end{matrix}\right| = -\omega^1_{(2)} \wedge \omega^1_{(1)}$$

微分形式

微分事实上可以通过上述的“形式”来定义，因为一个可微函数 在点 处沿着方向 的微分一定可以写为

$$\mathrm{d}f|_P(v) = \sum_i \partial_i f|_P \mathrm{d}x^i$$

是在 点的向量 在 上的投影，即 ，因此上式还可以写为

$$\mathrm{d}f|_P = \sum_i \partial_i f|_P \ \varphi^i$$

视 本身是线性组合系数，那么函数的微分本身就是一个 次形式。同时，在 点的函数本身可以看作一个 次形式，因为它是恒值函数而不依赖于任何向量。这就意味着微分算子 本身具有“升次”的功能

更一般地，在 点的 次形式可以写为

$$\omega|_P = \sum_{i_1 < \cdots< i_{k-1}} a_{i_1\cdots i_{k-1}}|_P \ \varphi^{i_1} \wedge \cdots \wedge \varphi^{i_{k-1}}$$

这里 是一个可微函数

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的直观意义就是为一个 维超曲面上每一个点 赋予了一个与该点附近有向体积成正比的值，比如

• 中在二维曲面上定义的磁通量，此时 是磁感应强度（在某个方向上的投影值），有向体积是面积
• 中在一维曲线上定义的功，此时 是力（在某个方向上的投影值），有向体积是长度

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上式的外微分被定义为

$$\mathrm{d}\omega|_P = \sum_{i_1 < \cdots< i_{k-1}, i_k} \partial_{i_k} a_{i_1\cdots i_{k-1}}|_P \ \varphi^{i_k} \wedge \varphi^{i_1} \wedge \cdots \wedge \varphi^{i_{k-1}}$$

积分

边界

为了对微分进行积分，首先要指定积分区域。对于 维光滑超曲面 ，总可以将其分为若干足够小的曲面元。一般来说，这种曲面元足够小，以至于位于 点的曲面元 总可以通过一个可微映射 来表示，这里 是 张成的“平行六面体”

对于 的一个坐标 ， 和 是这个 维“平行六面体”的两个边界，这两个边界当然都是 维的超平面。遍历所有的 ，得到的超平面集合称为 的边界，记为 ；当然， 也能将这个边界映射为曲面元 的边界

在 上的 Riemann 积分定义为

$$\int_{\Omega} \omega^k = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N \omega^k|_P$$

这里 是分割的曲面元数，随着 ，也会有 （否则就要有 的“体积缩放倍数”无限趋向于零）。与此同时，一般总可以找到泛函 使得

$$\omega^k|_P(v_1, \cdots, v_k) = c_P^\ast \circ \omega^k|_P (\varepsilon e_1, \cdots, \varepsilon e_k)$$

这里 是 在 点处的切向量

有了 ，那么沿着 的积分也可以被映射回 中，即

$$\int_{\partial \Omega_P} \omega^{k-1} = \sum_{i=1}^k c_P^\ast \circ \omega^{k-1}(\varepsilon e_1, \cdots, \widehat{\varepsilon e_i}, \cdots,\varepsilon e_k) = \sum_{i=1}^k c^\ast_P \circ \omega^{k-1}$$

这里 表示缺省该项。记在边界上的基为 ，那么仿照三维空间中的规则，在积分时要保证 构成的定向与 的定向一致，这里 是边界的外法线方向

由于相邻的曲面元之间共用的边界显然有相反的有向体积，所以它们相加时互相抵消。只有那些没有被共用的边界有非零的贡献，这些边界正构成了整个 的边界，因为只有在 上才不会与相邻曲面元接触，故而

$$\int_{\partial \Omega} \omega^{k-1} = \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N \int_{\partial \Omega_P} \omega^{k-1}$$

微分形式的积分

广义的微积分基本定理来源于一个非常直观的计算，事实上它只是微分和积分的定义导致的自然结果。和证明通常意义下的微积分基本定理时一样，首先在 上可以定义一个 次形式 ，并记 ，那么在 上有

$$\sum_{i=1}^k c^\ast_P \circ \omega|_P = \sum_{i=1}^k \left[a^{i}(0, \cdots, \varepsilon, \cdots, 0) + a^{i}(0, \cdots, 0, \cdots, 0) \right] \ \varphi^{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{\varphi^{i}} \wedge \cdots \wedge \varphi^{k}$$

这里用 代替了 ，因为 ，它们是一一对应的；此处上下标仅代表逆变协变关系

在边界 上，外法线是 ，而 的定向与 之间差了 次轮换，因而需要补充系数 ；而在边界 上则需要补充系数 ，因为该边界的外法线是 ，所以上式成为

$$\sum_{i=1}^k c^\ast_P \circ \omega|_P = \sum_{i=1}^k \left[(-1)^{i-1}a^{i}(0, \cdots, \varepsilon, \cdots, 0) + (-1)^i a^{i}(0, \cdots, 0, \cdots, 0) \right] \varepsilon^{k-1}$$

这里利用了 作用于 上的结果是一个单位矩阵的行列式乘上系数 ，因此结果就是 ；当 Riemann 和的分割数趋向于无穷时， 足够小，因而上式还可以写为

$$\sum_{i=1}^k c^\ast_P \circ \omega|_P = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} (\partial_i a^{i} \varepsilon) \varepsilon^{k-1} = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} \partial_i a^{i} \varepsilon^{k}$$

至于 的外微分 则有

$$\begin{aligned} c_P^\ast \circ \mathrm{d}\omega|_P = & \sum_{i=1}^k \partial_i a^{i} \ \varphi^{i} \wedge \varphi^{1} \wedge \cdots \wedge \varphi^{k} \\[12pt] &= \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} \partial_i a^{i} \ \varphi^{1} \wedge \cdots \wedge \varphi^{i} \wedge \cdots \wedge \varphi^{k} \end{aligned}$$

这里的 是由于外积的斜交换性带来的，因为将 换到 一共需要 次轮换，上式的结果是

$$c_P^\ast \circ \mathrm{d}\omega|_P = \sum_{i=1}^k(-1)^{i-1} \partial_i a^{i} \varepsilon^{k}$$

这意味着

$$c_P^\ast \circ \mathrm{d}\omega|_P = \sum_{i=1}^k c^\ast_P \circ \omega|_P \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}\omega|_P = \int_{\partial \Omega_P} \omega|_P$$

最后，只要对 Riemann 和取极限就得到广义 Stokes 公式：

$$\int_{\Omega} \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial \Omega} \omega$$

在一些课本中，这个公式也被称为 Newton-Leibniz-Green-Gauss-Ostrograsky-Stokes-Poincare 公式，或者干脆称为广义的微积分基本定理。从推导中其实可以看出来这个公式只是来源于微分和积分的定义和按部就班的计算，所以确实可以称得上是一个“基本”的结果

相关公式

基本定理的特例

广义 Stokes 公式有许多特例，其中最为著名的一组是在三维空间中的

• Newton-Leibniz 公式

  $$\int_{P_1}^{P_2} \nabla u \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = u|_{P_2} - u|_{P_1}$$

  此时 是一维的光滑曲线 ， 是个 次形式，即一个函数

• Stokes 公式（旋度定理）

  $$\int_{\Sigma} (\nabla \times \boldsymbol{A}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma} = \oint_{\partial \Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}$$

  此时 是二维的光滑曲面 ， 是个 次形式，即一个矢量 带内积

• Gauss-Ostrograsky 公式（散度定理）

  $$\int_{V} (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) \cdot \mathrm{d}V = \oint_{\partial V} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma}$$

  此时 是三维的光滑区域 ， 是个 次形式，由于三维空间中 次形式所处空间的维度为 ，因此可以用一个矢量 带内积来表示

在相对论四维时空中也可以得到类似三维空间中的公式，其中尤其常用的是四维的散度定理，比如在从最小作用量原理出发推导电磁场方程时就会用到散度定理，它可以表示为

$$\int_{\Omega} \partial_i A^i \mathrm{d}\Omega = \oint_{\partial \Omega} A_i \mathrm{d}S^i$$

此时 是四维的光滑区域 ， 是个 次形式。同样地，由于四维空间中 次形式所处空间的维度为 ，所以也可以用一个矢量带内积来表示，而这里

散度定理的二维情况也是广为人知的，即

$$\int_{\Sigma} (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) \mathrm{d}\Sigma = \oint_{\partial \Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{n}$$

这里 方向指向 的外法线，大小是边界上一点附近的长度微分。由于外法线和曲线 的切线成 90 度夹角，即

$$\mathrm{d}\boldsymbol{n} = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}\right]\mathrm{d}\boldsymbol{l}$$

代入后上式成为

$$\int_{\Sigma} \left(\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}\right) \mathrm{d}\Sigma = \oint_{\partial \Sigma} A_x\mathrm{d}y - A_y \mathrm{d}x$$

令 ，上式实际上成为 Green 公式

$$\int_{\Sigma} \left|\begin{matrix} \partial_x & \partial_y \\ F_x & F_y \end{matrix}\right| \mathrm{d}\Sigma = \oint_{\partial \Sigma} \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}$$

Stokes 引理

在任何高于一维的奇数维空间（设为 维）中，对于 次形式而言总有一个方向 ，使得对于任何 ， ，这是因为按照之前所述

$$\omega^2(\xi, v) = \sum_{i,j} a_{i,(1)}a_{j,(2)} \left[ \varphi^i(\xi)\varphi^j(v) - \varphi^i(v)\varphi^j(\xi)\right]$$

交换第二项的 ，这并不改变求和本身，上式成为

$$\omega^2(\xi, v) = \sum_{ij} [a_{i,(1)}a_{j,(2)} - a_{j,(1)}a_{i,(2)}] \varphi^i(\xi)\varphi^j(v)$$

是一个 维的反对称矩阵，这意味着

$$\mathrm{det}[a_{i,(1)}a_{j,(2)} - a_{j,(1)}a_{i,(2)}] = \mathrm{det}[a_{j,(1)}a_{i,(2)} - a_{i,(1)}a_{j,(2)}] = (-1)^{2k-1} \mathrm{det}[a_{i,(1)}a_{j,(2)} - a_{j,(1)}a_{i,(2)}]$$

第一个等号是由于矩阵的行列式等于其转置的行列式，第二个等号是由于每改变矩阵中一列或一行的符号，整个行列式随之变一次号。由于 当然是个奇数，所以 ，这就意味着其必然存在一个特征值为0的特征向量，令 为这个特征向量，那么自然有

$$\sum_{i} [a_{i,(1)}a_{j,(2)} - a_{j,(1)}a_{i,(2)}] \varphi^i(\xi) = 0$$

从而不论 为何值， 总为零

现在在空间中定义好一个 次形式 ，并绘制一个一维回路 ，以这回路上每一点为起点绘制曲线，并规定这些曲线在每一点都必须以 为切向量，这里 满足 ；这些曲线势必构成一个无限延伸的管状曲面，对着曲面横切一刀可以得到另一个一维回路 ，那么

$$\oint_{\Gamma_2} \omega - \oint_{\Gamma_1} \omega = \int_{S} \mathrm{d}\omega$$

是夹在 之间的管状曲面。由于管状曲面上任意一条曲线都是以 为切向量的，所以 作用于其上的任何一个面元时都只会得到零结果，这就给出 Stokes 引理

$$\oint_{\Gamma_1} \omega = \oint_{\Gamma_2} \omega$$

这个积分也被称为 Poincare-Cartan 积分不变量

如果这个奇数维空间是相空间，那么 Stokes 引理将可以直接推出 Hamilton 方程。暂且不论 Hamilton 力学，这个引理在三维空间中的特例是流体力学中的 Kelvin 环量定理

$$\oint_{\Gamma_1} \boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \oint_{\Gamma_2} \boldsymbol{v}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$$

这里 是流场速度， ，也即涡量，带上内积即为速度场的外微分，因此 Stokes 引理中的管状曲面在此时即为流体的涡管

在几何光学中有类似的公式，即光线的 Lagrange 积分不变量

$$\oint_{\Gamma} n\boldsymbol{s} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = 0$$

是光线的相位“行进”的方向，即程函的梯度 所指的方向 ，由于梯度场无旋，这个不变量也就始终为零

Green 恒等式

在 维空间中构建一个梯度矢量 ，并在闭合的 维超曲面上进行积分。按照广义 Stokes 公式，或者更具体地说是 维的散度定理，有

$$\int_\Omega \partial_i (u \partial^i v) \mathrm{d}\Omega = \oint_{\partial \Omega} u\partial^i v \mathrm{d}S_i$$

由于 ，代入即得到 Green 第一恒等式

$$\int_\Omega \left[ (\partial_i u)(\partial^i v) + u(\partial_i\partial^i v) \right] \mathrm{d}\Omega = \oint_{\partial \Omega} u\partial^i v \mathrm{d}S_i$$

交换 并相减得到 Green 第二恒等式

$$\int_\Omega \left[ u(\partial_i\partial^i v) - v(\partial_i\partial^i u) \right] \mathrm{d}\Omega = \oint_{\partial \Omega} \left(u\partial^i v - v\partial^i u \right) \mathrm{d}S_i$$

第二恒等式在三维空间中的特例是

$$\int_V \left( u\nabla^2 v - v\nabla^2 u \right) \mathrm{d}V = \oint_{\partial V} \left(u\nabla v - v\nabla u \right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma}$$

这个公式对于 看起来相当对称，事实上它往往与互易性有着紧密的关联，比如令 分别是 Helmhlotz 方程的 Green 函数，即 ，它们服从方程

$$\begin{aligned} & \nabla^2 G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_1) + k^2 G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_1) = \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_1) \\[12pt] & \nabla^2 G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_2) + k^2 G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_2) = \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_2) \end{aligned}$$

代入 Green 第二恒等式有

$$\begin{aligned} & \int_V \left[ G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_1) \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_2) - G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_2) \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_1)\right] \mathrm{d}V \\[12pt] = & \oint_{\partial V} \left[G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_1)\nabla G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_2) - G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_2)\nabla G(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}_1) \right] \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma} \end{aligned}$$

当然这里的 和积分都是对 进行的。在物理中，对上式的一个标准处理方法是令 ，即对全空间进行积分；由于 Helmholtz 方程的 Green 函数事实上是角波数为 的球面波，所以在无穷远处 和 趋向于相同， 和 也是一样

因而上式中等号右侧为零，对等号左侧再利用 Dirac 函数的性质，就得到

$$G (\boldsymbol{r}_2, \boldsymbol{r}_1) = G(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2)$$

也就是单模波的互易关系，对上式等号两侧同时乘上时谐因子 并做 Fourier 逆变换，就可以得到更常见的时间反演形式的互易关系表述