对噪声的采样

零阶保持

对于许多 ADC 而言，从一个连续的信号中进行采样的过程是

$$y(t) = \sum_k x(kT_s) h_0(t-kT_s)$$

这里 是被采样的信号， 是采样后并进行保持的信号， 是一阶保持器的响应核，即

$$h_0(t) = u(t) - u(t-T_s)$$

这里 是单位阶跃函数。可以很快给出 的 Fourier 变换

$$\mathcal{F}[h_0(t)] = \int_0^{T_s} e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t = \frac{\sin(\pi f/f_s)}{\pi f} e^{-j\pi f/f_s}$$

这里 是采样频率，同时可以给出

$$\mathcal{F}[h_0(t-kT_s)] = \int_{kT_s}^{(k+1)T_s} e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t = \frac{\sin(\pi f/f_s)}{\pi f} e^{-j\pi f/f_s}e^{-j2k\pi f/f_s} = \mathcal{F}[h_0(t)]e^{-j2k\pi f/f_s}$$

对功率信号的采样

对于功率信号 ，可以将其展开写为

$$x(t) = \lim_{T \rightarrow \infty}\sqrt{T}\int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f$$

这里 可以认为是功率信号持续的时间， 是随机变量。那么对采样后的信号求取功率谱密度（PSD）将有

$$S_Y(f) = \lim_{T \rightarrow\infty} \frac{1}{T} \mathrm{E}\left[\left| \int_{-T/2}^{T/2} y(t) e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t \right|^2\right]$$

代入 的表达式，将有

$$S_Y(f) = \lim_{T \rightarrow\infty} \frac{1}{T} \mathrm{E}\left[\left| \mathcal{F}[h_0(t)]\sum_k x(kT_s)e^{-j2k\pi f/f_s} \right|^2\right]$$

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这里插播一个关系式，注意可以通过反用 Dirac 函数的 Fourier 变换式得到

$$\sum_k x(kT_s)e^{-j2k\pi f/f_s} = \sum_k x(kT_s) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-k/f_s)e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t$$

考虑到 ，并交换积分和求和的顺序，此即

$$\begin{aligned} \sum_k x(kT_s)e^{-j2k\pi f/f_s} &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\sum_k x(kT_s) \delta(t-kT_s)\right]e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t \\[12pt] &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left[x(t)\sum_k \delta(t-kT_s)\right]e^{-j2\pi ft}\mathrm{d}t \\[12pt] \end{aligned}$$

也就是对括号内信号的 Fourier 变换，利用 Fourier 变换的乘积-卷积关系，上式可以继续写为

$$\sum_k x(kT_s)e^{-j2k\pi f/f_s} = \sqrt{T}X(\nu) \ast \sum_k e^{-j2k\pi f/f_s}$$

卷积右侧的元素是 Dirichlet 核，其结果是

$$\sum_k e^{-j2k\pi f/f_s} = \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{\sin[(2N+1)\pi f/f_s]}{\sin(\pi f/f_s)} = f_s\sum_{k}\delta(f-kf_s)$$

第二个等号的成立可以这样不严谨地理解：在 时，分子分母均趋向于零，其极限为 ，随着 增大趋向于无穷大；反之在其它点处则趋向于零。系数 是由于 Dirac 函数积分为 的性质带来的。总之将有

$$\sum_k x(kT_s)e^{-j2k\pi f/f_s} = f_s\sqrt{T}\sum_{k}X(f-kf_s)$$

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将这个结果代入，将有

$$S_Y(f) = \lim_{T \rightarrow\infty} \frac{T}{T} \mathrm{E}\left[\left| \mathrm{sinc}(f/f_s)e^{-j\pi f/f_s}\sum_{k}X(f-kf_s) \right|^2\right]$$

这里 sinc 函数是

$$\mathrm{sinc}(f/f_s) = \frac{\sin(\pi f/f_s)}{\pi f/f_s}$$

展开复数的幅值平方，将有

$$S_Y(f) = \mathrm{sinc}^2(f/f_s)\mathrm{E}\left[\sum_{k}X(f-kf_s)\sum_{k'}X^\ast(f-k'f_s)\right]$$

对于各频率独立贡献的噪声，其不同频率分量之间没有相关性，即当 时系综的数学期望为零，所以上式成为

$$\begin{aligned} S_Y(f) &= \mathrm{sinc}^2(f/f_s)\sum_{k}\mathrm{E}\left[X(f-kf_s)X^\ast(f-kf_s)\right] \\[12pt] &= \mathrm{sinc}^2(f/f_s)\sum_{k}S_X(f-kf_s) \end{aligned}$$

混叠

如果 在 之外有明显的值，那么在上式相加的过程中将会出现

$$S_Y(f) = \mathrm{sinc}^2(f/f_s)\left[ \cdots + S_X(f-f_s) + S_X(f-f_s) + S_X(f+f_s) + \cdots \right]$$

这样会将 等等分量叠进 的 PSD ，从而显著增加采样后信号的噪声 PSD 高度

因此一个降噪的做法是在采样前加一个带宽等于或低于 的低通滤波器，滤除 以外的噪声贡献，从而防止混叠带来的噪声 PSD 抬升