自发辐射光源

光强

定义

对于真空中的单色平面电波 ，其 Poynting 矢量为

$$\boldsymbol{s}_r = \frac{c}{4\pi} \left(\boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{h}_r\right)$$

这里磁场经由 Faraday 电磁感应定律和电场联系起来，即

$$\nabla \times \boldsymbol{e}_r = -\frac{1}{c}\frac{\partial \boldsymbol{h}_r}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad 2\pi\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{E}\sin(2\pi ft - 2\pi \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{x} + \theta) = \frac{2\pi f}{c}\boldsymbol{H}\sin(2\pi ft - 2\pi \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{x} + \theta)$$

从而 ，加之电磁场的方向以及 Poynting 矢量互相垂直，所以

$$|\boldsymbol{s}_r| = \frac{c}{4\pi}|\boldsymbol{e}_r||\boldsymbol{h}_r| = \frac{nc}{4\pi}|\boldsymbol{e}_r|^2$$

那么对于单偏振光 ，在 时刻通过特定位置单位面积的光功率就是

$$I_s(t) = \frac{c}{4\pi}e_r(t)^2 = \frac{c}{8\pi}E^2[1 + \cos(4\pi ft + 2\theta)]$$

由于光的变化频率一般很高，所以实际的光电探测中检测到的往往是上式的均值，这个时间平均的窗口 ，且时间平均的结果就被称为光强

$$I = \Braket{I_s(t)} = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} I_s(t) \mathrm{d}t = \frac{c}{8\pi}E^2$$

这里 是指时间平均。当然，光强也可以定义为正比于磁场的平方的量，但由于 Wiener 驻波实验表明在光与物质互动时，磁场分量几乎没有任何贡献，因而往往用电场定义光强。

复解析形式下的光强

由于光学中存在着大量的线性运算，所以可以将余弦形式的实电波转化为解析的复电波，这实际上只是令 ，这里 是一个复数，包含了幅值以及初相信息。此时若有任意线性算子 作用在实电波上，总可以通过先将其作用在复电波上然后再取实部得到结果，即

$$L[e_r(t)] = \mathrm{Re}\{ L[e(t)] \}$$

而光强则成为一般常用的定义式

$$I = \frac{c}{8\pi}\Braket{\frac{1}{2}[e(t) + e^{\ast}(t)]^2} = \frac{c}{8\pi}\Braket{e(t)e^{\ast}(t)} = \frac{c}{8\pi}\Braket{|e(t)|^2}$$

自发辐射的光强

关于这部分的数学内容，参见 A. Papoulis, and S. U. Pillai, “Probability, random variables and stochastic processes”, 4th ed., Chap. 11, Sec. 4.

在自发辐射中， 是由大量原子无关的辐射叠加而成的，因而往往是一个随机信号，那么它的 Fourier 变换也是随机变量，即

$$e(t) =\int_{0}^{\infty} E(f) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f \quad,\quad E(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t$$

对于遍历（ergodic）的随机过程，时间平均是和数学期望相等的，也就是

$$I = \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[ |e(t)|^2 \right] = \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] e^{j2\pi (f-\nu)t} \mathrm{d}f\mathrm{d}\nu$$

继续将内部的数学期望展开写为

$$\frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t')\right] e^{-j2\pi (ft-\nu t')} \mathrm{d}t\mathrm{d}t'$$

令 ，上式继续写为

$$\frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right] e^{-j2\pi f\tau}e^{-j2\pi (f-\nu)t'} \mathrm{d}t'\mathrm{d}\tau$$

对 的积分给出 ，因此上式成为

$$\frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[E(f)E^\ast(\nu) \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{c}{8\pi}\mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right] e^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau \cdot \delta(f-\nu)$$

式中的积分显然是一个 Fourier 变换，记为 ，那么代回 的表达式就得到

$$I = \int_0^\infty S(f) \mathrm{d}f \quad,\quad S(f) = \frac{c}{8\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right] e^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau$$

也即 是由 在频域上线性叠加的结果，因此 被称为光谱，它的 Fourier 变换对被称为自相关函数（ACF），即

$$\varGamma(\tau) = \frac{c}{8\pi} \mathrm{E}\left[e(t)e^\ast(t-\tau)\right]$$

很显然 ，“光谱与 ACF 构成 Fourier 变换对”这一结果也被称为 Wiener-Khinchin 定理