自发辐射光源

光强

瞬时光强可以简单定义为一个正比于电场强度的平方的值，这个定义来源于自由空间中光的 Poynting 矢量的模长。对于单色电波 ，其 Poynting 矢量为 ，同时磁场经由 Faraday 电磁感应定律和电场联系起来，即

$$\nabla \times \boldsymbol{e}_r = -\mu\frac{\partial \boldsymbol{h}_r}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad 2\pi\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{E}\sin(2\pi ft - 2\pi \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{x} + \theta) = 2\pi \mu f\boldsymbol{H}\sin(2\pi ft - 2\pi \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{x} + \theta)$$

从而 ，电磁场的方向以及 Poynting 矢量互相垂直，所以

$$|\boldsymbol{s}_r| = |\boldsymbol{e}_r||\boldsymbol{h}_r| = \frac{m}{\mu f}|\boldsymbol{e}_r|^2 = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}|\boldsymbol{e}_r|^2 \propto |\boldsymbol{e}_r|^2$$

所以对于单偏振光 ，只关注特定空间位置的话，就可以定义瞬时光强为

$$I_s(t) = 2e_r(t)^2 = \frac{E^2}{2}[e^{j(2\pi ft + \theta)} + e^{-j(2\pi ft + \theta)}]^2 = E^2[1 + \cos(4\pi ft + 2\theta)]$$

这里将比例系数取为了 ，这只是单纯为了形式上好看而已。当然，只要稍微注意就可以发现似乎光强也可以定义为正比于磁场的平方的量，但由于 Wiener 驻波实验表明在光与物质互动时，磁场分量几乎没有任何贡献，因而往往用电场定义光强。

由于光的变化频率一般很高，所以实际的光电探测中检测到的往往是上式的均值，这个时间平均的窗口 ，所以实际中探测到的单色光强是

$$I(t) = \frac{1}{T} \int_{t-T/2}^{t+T/2} I_s(t) \mathrm{d}t \approx E^2$$

由于光学中存在着大量的线性运算，所以可以将余弦形式的实电波转化为解析的复电波，这实际上只是令 ，此时若有任意线性算子 作用在实电波上，总可以通过先将其作用在复电波上然后再取实部得到结果，即

$$L[e_r(t)] = \mathrm{Re}\{ L[e(t)] \}$$

而光强则成为一般常用的定义式

$$I(t) = \frac{1}{T} \int_{t-T/2}^{t+T/2} \frac{1}{2}[e(t) + e^{\ast}(t)]^2 \mathrm{d}t \approx e(t)e^{\ast}(t) = |e(t)|^2$$

---

上式中 ​ 在时间平均下为零，但请注意时间平均这个低通滤波器的传递函数是

$$H_T(f) = \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT}$$

所以上面 定义式中约等号省去的是电波自身的频率混叠带来的极高频噪声，只有在 的情况下约等号将严格成为等号，但是实际中并不存在这种情况。不过相对来讲，电子系统能够提供的 ​ 对于光而言也差不多可以认为趋向于无穷大了

---

自发辐射模型

多个原子辐射

当有多个原子自发辐射时，进行一次采样，记采样得到的频率为 的电波是 ，总的电波是所有原子发出的电波之和

$$e(t) = \sum_{n=0}^{\infty} E_n e^{j(2\pi f_n t + \theta_n)}$$

如此上式可以给出此次采样得到的光强，这里直接令时间平均的窗口取为 ，一般时间平均会简记为 ，则

$$\begin{aligned} I = \Braket{|e(t)|^2} &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} |e(t)|^2 \mathrm{d}t \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \left\{ \sum_{n=0}^{\infty} E_n^2 + 2\sum_{m<n} E_mE_n \cos[2\pi(f_m-f_n)t + (\theta_m-\theta_n)] \right\} \mathrm{d}t \end{aligned}$$

在时间窗口无穷大的情况下，第二项的时间平均当然为零，所以自发辐射光源的光强是

$$I = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{-T/2}^{T/2} E_n^2 \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} E_n^2$$

这意味着对于自发辐射而言，光强是各频率分量的功率独立叠加，而不存在相互影响，但请注意实际中时间窗口 并不是无穷大，因而如若某一交叉项的 足够小，那么这将造成非理想的噪声或漂移；但这里的噪声和前一节约等号处的噪声不太一样，尽管确有相似的地方

另一方面，此次采样得到的光谱也可以按照定义求出

$$S(f) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left| \int_{-T/2}^{T/2} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2 = \lim_{T \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T/2}^{T/2} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right]\left[ \frac{1}{\sqrt{T}}\int_{-T/2}^{T/2} e^{\ast}(t) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}t \right]$$

对于上式，只需代入 的表达式计算

$$\frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T/2}^{T/2} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} E_n \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j[2\pi (f_n-f) t + \theta_n]} \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} E_n e^{j\theta_n} \frac{\sin[\pi (f-f_n)T]}{\pi (f-f_n)\sqrt{T}}$$

然后代入即得

$$\begin{aligned} S(f) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \left\{ \sum_{n=0}^{\infty} E_n^2 \frac{\sin^2[\pi (f-f_n)T]}{\pi^2 (f-f_n)^2 T} + \sum_{m<n} E_nE_m\cos(\theta_m - \theta_n) \frac{\sin[\pi (f-f_m)T]}{\pi (f-f_m) \sqrt{T}}\cdot \frac{\sin[\pi (f-f_n)T]}{\pi (f-f_n) \sqrt{T}} \right\} \\[12pt] &= \sum_{n=0}^{\infty} E_n^2\delta(f-f_n) \end{aligned}$$

这同样表明自发辐射的光功率是各频率分量的独立贡献

连续化

从离散过渡到连续的一个想法是令 ，并令 ，这是类比 Riemann 和求极限到 Riemann 积分的做法，这样将有

$$e(t) = \sum_{n=0}^{\infty} E(n\Delta f) e^{j(2\pi n\Delta f t + \theta_n)}$$

但是如果将上式与 Riemann 和进行比较，会发现缺少关键的 项，因而上式决不能成为 Riemann 积分，这种类比是不可取的。另外一个方法是从功率信号的角度出发，在有限的时间窗口内截取

$$e_{T}(t) = \begin{cases} e(t) &, |t|\leq T/2 \\[6pt] 0 &, |t|>T/2 \end{cases}$$

这样就有 ，同时可以将 写为 Fourier 展开的形式，但是幅值项用功率而非能量表示，即

$$e_{T}(t) = \sqrt{T}\int_{-\infty}^{\infty} E_{T}(f) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f$$

这里将相位和幅值乘在一起作为一个相量，因而 是一个复数

---

这里有两个地方值得注意：

1. 的出现正是为了使幅值项 ​ 的单位上多出一个“每根号秒”，从而表示信号的功率而非能量；实际上随机信号在严格的 Fourier 展开下是发散的，这个系数在 下正体现了这种发散性
2. 由于采用复解析信号表示，所以当 时 ​ ，尽管如此，这里积分从负无穷到正无穷，这主要是为了形式上的和谐；复解析信号是因果的，与之有关的一个积分变换是所谓的 Hilbert 变换

---

系综上的数学期望

ACF

记对电波进行一次采样的复解析形式是 ，记在时间窗口 内截断后的信号是 ，同样也将其写成 Fourier 展开的形式，即

$$e_{T}(t) = \begin{cases} e(t) &, |t|\leq T/2 \\[6pt] 0 &, |t|>T/2 \end{cases} \quad,\quad e_{T}(t) = \sqrt{T}\int_{-\infty}^{\infty} E_{T}(f) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f$$

是一个随机变量，并记

对于固定的 ， 也是由多个原子的自发辐射叠加成的，因为不同的原子可以辐射同样频率的光。由于原子数量巨大，按照中心极限定理，这个复振幅的实部和虚部均近似服从正态分布。且可以经过运算得到实部和虚部的期望都是 ，方差也相同，可以记为

那么这束光在系综意义下的自相关函数（ACF）是 ，代入上面的 Fourier 展开形式即得到

$$\begin{aligned} R(\tau) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left[ T\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} E_T(f)E_T^{\ast}(\nu) e^{j2\pi \nu \tau} e^{j2\pi (f-\nu)t} \mathrm{d}f \mathrm{d}\nu \right] \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left[ T\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} E_T(f)E_T^{\ast}(f-w) e^{j2\pi (f-w) \tau} e^{j2\pi wt} \mathrm{d}f \mathrm{d}w \right] \end{aligned}$$

该式中的 ，这里在数学上请注意 ，但同时积分上下限也进行了交换。 则是求发光过程系综的数学期望。实际的发光过程多都是广义平稳的，即 能够收敛到一个非平凡解且不会随时间变化。这样上式中对 的积分将必须满足

1. 只有在 附近有有限值，否则 将随时间变化
2. 这个“附近”的区间长度必须正比于 ，如果阶数更低将会导致平凡解，阶数更高将会导致发散；为方便可以直接将区间设为

这样就会有

$$\begin{aligned} R(\tau) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left\{ T \int_{-\infty}^{\infty} E_T(f) \left[\int_{-1/2T}^{1/2T} E_T^{\ast}(f-w) e^{j2\pi (f-w) \tau} e^{j2\pi wt} \mathrm{d}w \right] \mathrm{d}f \right\} \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left\{ \int_{-\infty}^{\infty} E_T(f) E_T^{\ast}(f) e^{j2\pi f \tau} \left[\int_{-1/2T}^{1/2T} T \mathrm{d}w \right] \mathrm{d}f \right\} \end{aligned}$$

关于 的积分结果始终是 ，取 的极限后就可以得到

$$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{E}\left[|E(f)|^2\right] e^{j2\pi f \tau}\mathrm{d}f \quad,\quad I = R(0) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{E}\left[|E(f)|^2\right] \mathrm{d}f$$

这依然符合自发辐射的光强是各频率分量的光独立贡献的事实

PSD

光的功率谱密度（PSD）由以下定义式给出

$$S(f) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \mathrm{E}\left\{ \left| \int_{-T/2}^{T/2} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2 \right\} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \mathrm{E}\left\{ \left| \int_{-T/2}^{T/2} e_{T}(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2 \right\}$$

同样地，代入 的表达式得到

$$\begin{aligned} S(f) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left\{ \left| \int_{-\infty}^{\infty} E_T(\nu) \left[ \int_{-T/2}^{T/2} e^{j2\pi (\nu-f)t} \mathrm{d}t \right] \mathrm{d}\nu \right|^2 \right\} \\[12pt] &= \mathrm{E}\left[ \left| \int_{-\infty}^{\infty} E(\nu) \delta(f-\nu) \mathrm{d}\nu \right|^2 \right] \\[12pt] \end{aligned}$$

此即 ，这个结果也与 Wiener-Khinchin 定理吻合，即

$$S(f) = \mathcal{F}[R(\tau)] = \int_{-\infty}^{+\infty} R(\tau) e^{-j2\pi f\tau} \mathrm{d}\tau$$

时间上的统计平均

另一种给出上述 ACF 和 PSD 的方法是将观察时刻的电波视为过去每一时刻光源发出的波列的叠加。假设光源发出一个波列 ，经 时间到达观察点，那么遍历所有可能的 求和，就可以得到此刻在观察点处看到的电波

$$e(t) = \sum_{k=0}^{N} e_k(t-t_k) \quad,\quad N=\frac{T}{\tau_{co}}$$

这里 是检测光强的时间窗口， 是光的相干时间，或者叫波列的时间长度，也即在 时 有显著的值，而反之则 较小，实际上可以定义

$$\tau_{co}^2 = \mathrm{E} \left[ \frac{ \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 e_k(t) \mathrm{d}t }{ \int_{-\infty}^{+\infty} e_k(t) \mathrm{d}t } \right]$$

这里的数学期望是对波列的系综求的，因为波列是随机的。单个波列是有限次自发辐射的结果，其能量一定是有限的，因而可以做 Fourier 展开，即有

$$e_k(t) = \sqrt{\tau_{co}}\int_{-\infty}^{+\infty} E_k(f) e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f$$

这里系数 出现的原因和此前 一样，只是为了使 具有功率的物理意义；之所以是 ，是因为只有在 时 才有显著的值。接下来，按照定义写出时间意义下的 ACF ，即

$$\tilde{R}(\tau) = \Braket{e(t)e^{\ast}(t-\tau)} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\tau_{co}}{T} \sum_{k=0}^{N} \sum_{n=0}^{N} \int_{-T/2}^{T/2} e_k(t-t_k)e_n^{\ast}(t-t_n-\tau) \mathrm{d}t$$

将 展开，得到

$$\begin{aligned} \tilde{R}(\tau) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\tau_{co}}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{k=0}^{N} \sum_{n=0}^{N} E_k(f)E_n^{\ast}(\nu) e^{j2\pi \nu(\tau + t_n)}e^{-j2\pi f t_k}\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j2\pi (f-\nu)t} \mathrm{d}t \right] \mathrm{d}f \mathrm{d}\nu \\[12pt] &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\tau_{co}}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{k=0}^{N} \sum_{n=0}^{N} E_k(f)E_n^{\ast}(f) e^{j2\pi f(\tau+t_n-t_k)} \mathrm{d}f \end{aligned}$$

上式仍然利用了 ；对于 的情况， 是统计独立的，而且 的数学期望是 ，因而其在求和下将为零，这样上式就只剩下

$$\tilde{R}(\tau) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\tau_{co}}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{k=0}^{N} |E_k(f)|^2 e^{j2\pi f\tau} \mathrm{d}f$$

由于 ，因而上式的求和即对波列进行统计平均，即得到

$$\tilde{R}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{|E(f)|^2} e^{j2\pi f \tau} \mathrm{d}f \quad,\quad \tilde{I} = \tilde{R}(0) = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{|E(f)|^2} \mathrm{d}f$$

这里 代表统计平均。然后只需如法炮制即可马上得到 PSD，即

$$\tilde{S}(f) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left| \int_{-T/2}^{T/2} e(t) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2 = \lim_{T \rightarrow \infty} \left| \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{k=0}^{N} \int_{-\infty}^{+\infty} e_k(t-t_k) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t \right|^2$$

将绝对值内部的内容展开，得到

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{k=0}^{N} \int_{-T/2}^{T/2} e_k(t-t_k) e^{-j2\pi ft} \mathrm{d}t &= \sqrt{\frac{\tau_{co}}{T}} \int_{-\infty}^{+\infty} \sum_{k=0}^{N} E_k(\nu) e^{j2\pi \nu t_k}\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j2\pi (\nu-f)} \mathrm{d}t \right] \mathrm{d}\nu \\[12pt] &= \sqrt{\frac{\tau_{co}}{T}} \sum_{k=0}^{N} E_k(f) e^{j2\pi f t_k} \end{aligned}$$

那么 PSD 就是

$$\tilde{S}(f) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\tau_{co}}{T} \sum_{k=0}^{N} \sum_{n=0}^{N} E_k(f)E_n^{\ast}(f) e^{j2\pi f(t_k-t_n)} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\tau_{co}}{T} \sum_{k=0}^{N} |E_k(f)|^2 = \overline{|E(f)|^2}$$

第一个等号依然是 时 ​ 统计独立的结果

如果时间上的一次采样能够取尽系综中的所有可能性，那么时间上的统计均值将等于系综上的数学期望，即

$$\tilde{R}(\tau) = R(\tau) \quad,\quad \tilde{S}(f) = S(f)$$

能够满足这样条件的随机过程称为遍历的（ergodic）。实际上这是大数定律的直接体现，即对于足够平稳的采样，统计的均值将会收敛到随机变量自身的数学期望