因果系统的实部自满性

这是信号系统考试的一道题，当时考场上有点感觉，但是没写出来，遂乱写一通交卷，好歹留点字在上面让老师捞一捞。现在回来看，卷子上写的内容简直是一坨答辩。后来在 Oppenheim 的信号与系统第二版的第四章习题 4.47 和 4.48 看到了习题里确实有因果系统的实部自满特性，不过老师没布置这个习题，所以也就没看过。在了解了一些相关内容后发现确实是自己才疏学浅了

考题是这样的

是一个因果系统的单位脉冲响应且为实的， 是它的 Fourier 变换，记 是 的实部， 是 的虚部，求证：

$$R(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{X(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta \quad , \quad X(f) = -\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{R(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta$$

实部自满性

因果系统（前提是单位脉冲响应在原点没有奇异性）有所谓的实部自满性，就是其 Fourier 变换的实部能包含该信号全部信息

关于这一点，课本内容表明对于任何实信号都有

$$\mathrm{Ev}[a(t)] \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \mathrm{Re}[A(f)]$$

而因果信号 的偶部是没有信号重叠的，所以只要将 反变换回时域，然后把 的部分剪掉，再乘以 2 就能得到原信号 ，也就是 已经包含了原信号 的全部信息

也可以从另一个角度来看，先将 写为 ，这是因为 是因果的（这里 是单位阶跃函数），所以 的部分恒为零，然后由于

$$\mathcal{F}[u(t)] = \frac{1}{j2\pi f} + \frac{\delta(f)}{2}$$

以及 Fourier 变换的相乘性质 ​ ，所以

$$A(f) = A(f) * \left[ \frac{1}{j2\pi f} + \frac{\delta(f)}{2} \right] = \frac{1}{j2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{A(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta + \frac{1}{2}A(f)$$

将 移到左边就是

$$A(f) = \frac{1}{j\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{A(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta$$

现在将 写为 ，上式成为

$$R(f) + jX(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{X(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta - \frac{j}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{R(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta$$

令实部虚部分别相等就得到考题要求证明的结果。这表明因果系统 Fourier 变换的实部和虚部是通过一个卷积关系互相关联的，也就是给定其实部也能求出虚部，同样说明了其具有实部自满性

Hilbert 变换

上面过程中出现的式子

$$R(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{X(\eta)}{f-\eta} \mathrm{d}\eta = X(f) * \frac{1}{\pi f}$$

称为 ​​​ 的 Hilbert 变换。这个变换作用在时域上时将会有

$$\mathcal{H}[a(t)] = a(t) * \frac{1}{\pi t} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} A(f) \mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \right]$$

利用 Fourier 变换的对偶性，即已知 的 Fourier 变换是 ，那么应该有

$$\mathcal{F} \left[ \frac{1}{j2\pi t} + \frac{\delta(t)}{2} \right] = u(-f)$$

而又因为 ，所以

$$\mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \right] = j2\cdot \mathcal{F} \left[ \frac{1}{j2\pi t} \right] = j2\cdot \left[ u(-f) - \frac{1}{2} \right] = j[2 u(-f) - 1]$$

这实际是一个符号函数

$$\mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \right] = -j\ \mathrm{sgn}(f) \quad,\quad \mathrm{sgn}(f) = \begin{cases} 1 &,f>0 \\ 0 &,f=0 \\ -1 &,f<0 \end{cases}$$

然后再以 为实部，以它的 Hilbert 变换为虚部构造一个新信号，将会有

$$a(t) + j \mathcal{H}[a(t)] \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} A(f) [1+\mathrm{sgn}(\omega)] = 2A(f)u(f)$$

这将 的频谱进行了翻折并相加，称 为原信号 的复解析信号。在一些领域中，复解析信号有着重要的地位。一个典型的例子是在经典波动光学中，只要不遇到非线性系统，那么总是可以用复解析形式来表示电磁波，这将令计算过程以及物理图景更为清晰。