这是信号系统考试的一道题，当时考场上有点感觉，但是没写出来，遂乱写一通交卷。考题是这样的
是一个因果系统的单位脉冲响应且为实的， 是它的 Fourier 变换，记 是 的实部， 是 的虚部，求证：
实部自满性
因果系统（前提是单位脉冲响应在原点没有奇异性）有所谓的实部自满性，就是其
Fourier 变换的实部能包含该信号全部信息
关于这一点，课本内容表明对于任何实信号都有
而因果信号
的偶部是没有信号重叠的，所以只要将 反变换回时域，然后把
的部分剪掉，再乘以 2
就能得到原信号 ，也就是 已经包含了原信号 的全部信息
也可以从另一个角度来看，先将 写为 ，这是因为 是因果的（这里 是单位阶跃函数），所以 的部分恒为零，然后由于 以及 Fourier 变换的相乘性质
，所以 将 移到左边就是 现在将 写为 ，上式成为
令实部虚部分别相等就得到考题要求证明的结果。这表明因果系统 Fourier
变换的实部和虚部是通过一个卷积关系互相关联的，也就是给定其实部也能求出虚部，同样说明了其具有实部自满性
Hilbert 变换
上面过程中出现的式子 称为 的 Hilbert
变换。这个变换作用在时域上时将会有
利用 Fourier 变换的对偶性，即已知 的 Fourier 变换是 ，那么应该有
而又因为 ，所以
这实际是一个符号函数 然后再以 为实部，以它的 Hilbert
变换为虚部构造一个新信号，将会有 这将 的频谱进行了翻折并相加，称 为原信号
的复解析信号。在一些领域中，复解析信号有着重要的地位。一个典型的例子是在经典波动光学中，只要不遇到非线性系统，那么总是可以用复解析形式来表示电磁波，这将令计算过程以及物理图景更为清晰。